מתמטיקה לכיתה ט׳
תרגול שהוא הרפתקה

שלוש נוסחאות שחוסכות חישוב. מצוינות גם לחשבון בראש.

דוגמה: (a − b)(a + b) = a² − b², למשל 49 × 51 = 2500 − 1 = 2499

לדלתון שני זוגות של צלעות שוות זו ליד זו. האלכסון הראשי (בין הקודקודים שבהם נפגשות צלעות שוות) חוצה את האלכסון השני ומאונך לו. הזוויות שבין הצלעות השונות שוות.

דוגמה: אלכסונים 6 ו-10: שטח 30

זווית חיצונית של משולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שלא צמודות לה. במשולש שווה שוקיים, זוויות הבסיס שוות.

דוגמה: בסיס 50°: ראש 180 − 100 = 80°

הגרף הוא פרבולה. הקודקוד ב-x = −b ÷ 2a. הפתרונות של f(x) = 0 הם החיתוכים עם ציר x.

דוגמה: x² − 4x + 3: קודקוד ב-x = 2

במשולש ישר זווית עם זווית של 30°, הניצב שמול ה-30° הוא בדיוק חצי מהיתר. זה כי הוא חצי ממשולש שווה צלעות. הניצב השני = הניצב הקצר × √3.

דוגמה: יתר 10: ניצב קצר 5, ניצב ארוך 5√3 ≈ 8.66

לטרפז זוג אחד של צלעות מקבילות: הבסיסים. הזוויות שליד אותה שוק משלימות ל-180°. בטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות.

דוגמה: בסיסים 10 ו-6, גובה 4: שטח 32

מקבילית: זוויות נגדיות שוות. מלבן: אלכסונים שווים. מעוין: אלכסונים מאונכים. שטח טרפז: (a + b) × h ÷ 2. שטח מעוין/דלתון: אלכסון × אלכסון ÷ 2.

דוגמה: מעוין עם אלכסונים 6 ו-8: צלע 5

כשישר חותך שני ישרים מקבילים: זוויות מתאימות ומתחלפות שוות. זוויות חד־צדדיות משלימות ל-180°. זוויות קודקודיות שוות, וצמודות משלימות ל-180°.

דוגמה: זווית 70° → המתאימה לה 70°, החד־צדדית 110°

הגרף הוא פרבולה. הקודקוד ב-x = −b ÷ 2a. הפתרונות של f(x) = 0 הם החיתוכים עם ציר x.

דוגמה: x² − 4x + 3: קודקוד ב-x = 2

מקבילית: זוויות נגדיות שוות. מלבן: אלכסונים שווים. מעוין: אלכסונים מאונכים. שטח טרפז: (a + b) × h ÷ 2. שטח מעוין/דלתון: אלכסון × אלכסון ÷ 2.

דוגמה: מעוין עם אלכסונים 6 ו-8: צלע 5

כופלים את כל המשוואה במכנה המשותף, וכך השברים נעלמים.

דוגמה: x = 10

במלבן כל הזוויות ישרות וצלעות נגדיות שוות. האלכסונים שווים וחוצים זה את זה, ולכן נוצרים משולשים שווי שוקיים.

דוגמה: צלעות 6 ו-8: אלכסון 10

סיכוי = מספר התוצאות הטובות ÷ מספר כל התוצאות. בשתי קוביות יש 36 תוצאות.

דוגמה: קובייה: סיכוי לזוגי = 3 ÷ 6 = 50%

כשאחת המשוואות ריבועית, מבודדים משתנה מהמשוואה הקווית ומציבים בשנייה. מקבלים משוואה ריבועית, ולפעמים שני פתרונות.

דוגמה: x = 3, y = 4

לפרבולה "מחייכת" יש מינימום בקודקוד. היא יורדת משמאל לקודקוד ועולה מימינו. שיעור ה-x של הקודקוד הוא −b ÷ 2a. מספר נקודות החיתוך עם ציר x נקבע לפי b² − 4ac.

דוגמה: x² − 9 שלילית בין −3 ל-3

במעוין 4 צלעות שוות. הוא מקבילית, ולכן זוויות נגדיות שוות וזוויות סמוכות משלימות ל-180°. האלכסונים חוצים זה את זה בזווית ישרה.

דוגמה: אלכסונים 6 ו-8: צלע 5, שטח 24

ריבוע הוא מלבן שכל צלעותיו שוות, וגם מעוין שכל זוויותיו ישרות. האלכסונים שווים, חוצים זה את זה ומאונכים. אלכסון בפיתגורס: d² = a² + a².

דוגמה: צלע 5: שטח 25, היקף 20, אלכסון ≈ 7.1

במשולש ישר זווית, התיכון ליתר שווה לחצי היתר. כך נוצרים שני משולשים שווי שוקיים. זה קורה כי המשולש חסום במעגל שהיתר הוא הקוטר שלו.

דוגמה: יתר 10: תיכון 5

בכפל חזקות עם אותו בסיס מחברים מעריכים. בחילוק מחסירים. בחזקה של חזקה כופלים. כל מספר בחזקת 0 שווה 1. מעריך שלילי: 2⁻³ = 1/8.

דוגמה: (a²)³ = a⁶

הגרף הוא פרבולה. הקודקוד ב-x = −b ÷ 2a. הפתרונות של f(x) = 0 הם החיתוכים עם ציר x.

דוגמה: x² − 4x + 3: קודקוד ב-x = 2

כופלים את כל המשוואה במכנה המשותף, וכך השברים נעלמים.

דוגמה: x = 10

משולשים דומים: אותן זוויות, וכל הצלעות גדלות פי אותו מספר k (יחס הדמיון). יחס השטחים הוא k².

דוגמה: k = 2: צלע 3 → 6, שטח פי 4

בגרף, הציר האופקי הוא למשל השעה, והאנכי הוא הערך. כדי לקרוא ערך: מוצאים את השעה, עולים עד הקו, ופונים לציר האנכי. קטע עולה = הערך גדל. קטע תלול = שינוי מהיר.

דוגמה: בין 8 ל-10 עלתה ב-6 מעלות

כל נקודה מתוארת בשני מספרים: (x, y). x = כמה ימינה (או שמאלה, אם שלילי). y = כמה למעלה (או למטה).

דוגמה: (−2, 1): שתיים שמאלה ואחת למעלה

זוויות צמודות: 180°. קודקודיות: שוות. במשולש סכום הזוויות 180°, ובמרובע 360°. במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות.

דוגמה: 50° ו-60° → השלישית 70°

זווית חיצונית של משולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שלא צמודות לה. במשולש שווה שוקיים, זוויות הבסיס שוות.

דוגמה: בסיס 50°: ראש 180 − 100 = 80°

פונקציה היא כלל שנותן לכל x ערך y אחד בלבד. אפשר להציג אותה בטבלה, בגרף או בנוסחה. בפונקציה קווית, כשה-x גדל ב-1, ה-y משתנה תמיד באותו מספר: השיפוע.

דוגמה: x: 0, 1, 2 → y: 1, 3, 5. שיפוע 2

y = mx + b. m הוא השיפוע (כמה עולים כשזזים 1 ימינה), ו-b הוא נקודת החיתוך עם ציר y.

דוגמה: y = 2x + 1: עולה 2 בכל צעד, חותך את y ב-1

כל נקודה מתוארת בשני מספרים: (x, y). x = כמה ימינה (או שמאלה, אם שלילי). y = כמה למעלה (או למטה).

דוגמה: (−2, 1): שתיים שמאלה ואחת למעלה

x הוא מספר שלא ידוע או משתנה. 4x פירושו 4 כפול x. מאחדים רק איברים דומים, ופותחים סוגריים בחוק הפילוג.

דוגמה: 2x + 5x − x = 6x

במשולש ישר זווית, הצלע שמול הזווית הישרה נקראת יתר. היא תמיד הארוכה ביותר. שתי האחרות נקראות ניצבים.

דוגמה: ניצבים 3 ו-4: 9 + 16 = 25, ולכן היתר √25 = 5

כשהיתר ידוע וחסר ניצב, מחסירים במקום לחבר.

דוגמה: יתר 13, ניצב 5: 169 − 25 = 144, ולכן √144 = 12

מרחק בקו ישר בין שתי נקודות הוא יתר. סופרים משבצות לרוחב ולגובה, ואלה הניצבים.

דוגמה: 3 לרוחב ו-4 לגובה: המרחק 5

זווית חיצונית של משולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שלא צמודות לה. במשולש שווה שוקיים, זוויות הבסיס שוות.

דוגמה: בסיס 50°: ראש 180 − 100 = 80°

לדלתון שני זוגות של צלעות שוות זו ליד זו. האלכסון הראשי (בין הקודקודים שבהם נפגשות צלעות שוות) חוצה את האלכסון השני ומאונך לו. הזוויות שבין הצלעות השונות שוות.

דוגמה: אלכסונים 6 ו-10: שטח 30

אחוז הוא חלק ממאה. כדי לחשב p% ממספר: כופלים ב-p ומחלקים ב-100. בשינוי במחיר: תמיד ביחס למחיר המקורי.

דוגמה: 25% מ-80 = 80 × 25 ÷ 100 = 20

בדיאגרמת עמודות, כל עמודה מראה כמה יש מכל דבר. כדי לדעת כמה, בודקים לאיזה מספר בצד העמודה מגיעה. עמודה גבוהה יותר = יותר. "בכמה יותר?" מחסירים. "פי כמה?" מחלקים.

דוגמה: עמודה שמגיעה עד 8: בחרו בה 8 ילדים.

טווח = הערך הגדול − הקטן. שכיח = הערך שמופיע הכי הרבה פעמים. ממוצע מטבלה: כל ערך כפול השכיחות שלו, מחברים ומחלקים במספר הנתונים. שכיחות יחסית = שכיחות ÷ סך הכול × 100.

דוגמה: 6×2 + 7×3 + 8×5 = 73, ÷ 10 = 7.3

בדיאגרמת עמודות קוראים את הגובה מול הסרגל. שכיחות יחסית = החלק מתוך הכול. סיכוי = תוצאות טובות ÷ כל התוצאות.

דוגמה: 3 אדומים מתוך 12: 25%

משולשים דומים: אותן זוויות, וכל הצלעות גדלות פי אותו מספר k (יחס הדמיון). יחס השטחים הוא k².

דוגמה: k = 2: צלע 3 → 6, שטח פי 4

ממוצע: מחברים הכול ומחלקים במספר הערכים. חציון: ממיינים ולוקחים את האמצעי (בזוגי: ממוצע של שני האמצעיים).

דוגמה: 4, 6, 8 → ממוצע 6, חציון 6

טווח = הערך הגדול − הקטן. שכיח = הערך שמופיע הכי הרבה פעמים. ממוצע מטבלה: כל ערך כפול השכיחות שלו, מחברים ומחלקים במספר הנתונים. שכיחות יחסית = שכיחות ÷ סך הכול × 100.

דוגמה: 6×2 + 7×3 + 8×5 = 73, ÷ 10 = 7.3

כשישר חותך שני ישרים מקבילים: זוויות מתאימות ומתחלפות שוות. זוויות חד־צדדיות משלימות ל-180°. זוויות קודקודיות שוות, וצמודות משלימות ל-180°.

דוגמה: זווית 70° → המתאימה לה 70°, החד־צדדית 110°

במקבילית שני זוגות של צלעות מקבילות. צלעות נגדיות שוות, זוויות נגדיות שוות, זוויות סמוכות משלימות ל-180°, והאלכסונים חוצים זה את זה. שטח = בסיס × הגובה אליו.

דוגמה: בסיס 8, גובה 3: שטח 24

כופלים את כל המשוואה במכנה המשותף, וכך השברים נעלמים.

דוגמה: x = 10

משוואה היא מאזניים: מה שעושים לצד אחד עושים גם לשני. המטרה: להשאיר את x לבד.

דוגמה: בבעיה מילולית: מסמנים את הלא ידוע ב-x ובונים משוואה מהסיפור

סיכוי = מספר התוצאות הטובות ÷ מספר כל התוצאות. בשתי קוביות יש 36 תוצאות.

דוגמה: קובייה: סיכוי לזוגי = 3 ÷ 6 = 50%

הגרף הוא פרבולה. הקודקוד ב-x = −b ÷ 2a. הפתרונות של f(x) = 0 הם החיתוכים עם ציר x.

דוגמה: x² − 4x + 3: קודקוד ב-x = 2

שלוש נוסחאות שחוסכות חישוב. מצוינות גם לחשבון בראש.

דוגמה: (a − b)(a + b) = a² − b², למשל 49 × 51 = 2500 − 1 = 2499

מסמנים את הלא ידוע ב-x, כותבים משוואה, מעבירים הכול לאגף אחד (… = 0) ופותרים. בודקים שהפתרון מתאים לשאלה: אורך חייב להיות חיובי.

דוגמה: x(x + 2) = 48 → x = 6

במלבן כל הזוויות ישרות וצלעות נגדיות שוות. האלכסונים שווים וחוצים זה את זה, ולכן נוצרים משולשים שווי שוקיים.

דוגמה: צלעות 6 ו-8: אלכסון 10

במעוין 4 צלעות שוות. הוא מקבילית, ולכן זוויות נגדיות שוות וזוויות סמוכות משלימות ל-180°. האלכסונים חוצים זה את זה בזווית ישרה.

דוגמה: אלכסונים 6 ו-8: צלע 5, שטח 24

מסמנים את הלא ידוע ב-x, כותבים משוואה, מעבירים הכול לאגף אחד (… = 0) ופותרים. בודקים שהפתרון מתאים לשאלה: אורך חייב להיות חיובי.

דוגמה: x(x + 2) = 48 → x = 6

משוואה היא מאזניים: מה שעושים לצד אחד עושים גם לשני. המטרה: להשאיר את x לבד.

דוגמה: בבעיה מילולית: מסמנים את הלא ידוע ב-x ובונים משוואה מהסיפור

ריבוע הוא מלבן שכל צלעותיו שוות, וגם מעוין שכל זוויותיו ישרות. האלכסונים שווים, חוצים זה את זה ומאונכים. אלכסון בפיתגורס: d² = a² + a².

דוגמה: צלע 5: שטח 25, היקף 20, אלכסון ≈ 7.1

לטרפז זוג אחד של צלעות מקבילות: הבסיסים. הזוויות שליד אותה שוק משלימות ל-180°. בטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות.

דוגמה: בסיסים 10 ו-6, גובה 4: שטח 32

מפרקים את הצורה לצורות מוכרות: מלבנים ומשולשים. מחשבים את השטח של כל חלק ומחברים. לפעמים קל יותר להחסיר: מלבן גדול פחות החלק החסר.

דוגמה: מסגרת = מלבן גדול − חור

ההיקף הוא האורך של הקו מסביב. r הוא רדיוס (מהמרכז לקו), והקוטר d הוא פעמיים רדיוס. משתמשים ב-π = 3.14.

דוגמה: r = 5: 2 × 3.14 × 5 = 31.4

השטח הוא כל מה שבפנים. זהירות: אם נתון קוטר, קודם מחלקים ב-2!

דוגמה: r = 4: 3.14 × 16 = 50.24